ارزیابی حد دینامیکی پایداري ولتاژ متناظربا انشعاب هاپف( HB ) با در نظرگرفتن پارامترهاي سیستم تحریک ومدل هاي بار

Transcript

1 ارزیابی حد دینامیکی پایداري ولتاژ متناظربا انشعاب هاپف( ) با در نظرگرفتن پارامترهاي سیستم تحریک ومدل هاي بار 3 1 محمد جعفري بهادر فانی مهدي مهدوي 3 1 دانشکده برق دانشگاه آزاد نجف آباد jafari.mrj33@yahoo.com استادیاردانشکده برق دانشگاه آزاد نجف آباد bahador_fani@yahoo.com استادیاردانشکده برق دانشگاه آزاد خورا سگان mahdi_mahdavi@yahoo.com چکیده پایداري ولتاژ سیستمهاي قدرت را میتوان با استفاده از آنالیزهاي استاتیکی و دینامیکی مورد مطالعه قرار داد. آنالیزهاي استاتیکی بر خلاف ساده بودن و داشتن سرعت بالا دقت بالایی ندارند. به همین دلیل امروزه استفاده از آنالیزهاي دینامیکی در مطالعات سیستمهاي قدرت براي به دست آوردن مرزها و حدود دینامیکی ولتاژ کاربرد روزافزونی پیدا کرده که این مستلزم مدلسازي دقیق تجهیزات و نیز مطالعه پایداري ولتاژ سیستم در حوزه زمان است یکی از راهکارها استفاده از آنالیز مدال یا همان آنالیز مقدار ویژه همراه با شبیهسازي حوزه زمان است. در این مقاله حد دینامیکی پایداري ولتاژ( DLM )متناظر با انشعاب هاپف( ) با تغییر پارامترهاي سیستم تحریک ومدلهاي بار با افزایش تدریجی بار باس چهارده با استفاده از آنالیز مدال همراه با شبیهسازي حوزه زمان در حوزه سیگنال کوچک بررسی میشود و نتایج به دست آمده با هم مقایسه می شود. کلید واژه: آنالیز مدال حد دینامیکی پایداري ولتاژ سیگنال کوچک مدل بار 1- مقدمه: بحث پایداري سیستمهاي قدرت از دهه دوم قرن بیستم میلادي تاکنون به عنوان یک مسي له مهم در بهرهبرداري سیستمهاي برق مطرح بوده است. بدلیل پیچیدگی مساي ل پایداري استفاده از فرضیات سادهسازي انتخاب درجه مناسبی از شبیهسازي جزي یات سیستم تعیین مدت زمان آنالیز یک رخداد و تکنیکهاي مناسب آنالیز در تحلیل انواع پایداريها چارهساز خواهد بوددر نتیجه بر حسب اینکه مطالعات یک سیستم قدرت در چه بازه زمانی رخ میدهد مدل کردن دقیق تجهیزات اهمیت پیدا میکند. به عنوان نمونه سیستم تحریک ژنراتور سرعت عملکرد بالاتري را نسبت به گاورنر ژنراتور دارد. در نتیجه اگر زمان مطالعات سیستم قدرت کم باشد در اینصورت سیستم تحریک باید دقیق مدل شود در حالیکه نیازي به مدل دقیق گاورنر نمیباشد. پایداري ولتاژ به عنوان یکی از انواع پایداريها در سیستم قدرت عبارت است از توانایی سیستم قدرت جهت حفظ ولتاژهاي ماندگار قابل قبول براي تمام شینها بعد از وقوع یک اغتشاش نسبت به یک شرایط کار اولیه[ 1 ]. امروزه پایداري ولتاژ به عنوان یکی از مهمترین مساي ل در بهرهبرداري و کنترل سیستمهاي قدرت مطرح بوده و عموما تحت تا ثیر عوامل متعددي از قبیل مدل بارهاي سیستم و درصد موتورهاي القایی نسبت به کل بار سیستم محدودیتهاي فوق تحریک ژنراتورها تپ چنجر ترانسفورماتورها و نیز تجهیزات کنترلی مانند جبرانسازهاي استاتیکی توان راکتیو (SVC) پایدارساز سیستم قدرت و... می باشند [-3]. علاوه بر این توان راکتیو تولیدي واحدها و به عبارتی بهتر تا ثیر مدیریت توان راکتیو تولیدي در کنترل ولتاژ و حد پایداري ولتاژ( DLM ) بعنوان یکی از مطالب قابل توجه در تحقیقات مختلف میباشد. پایداري ولتاژ میتواند هم از حیث استاتیکی و هم از جنبه دینامیکی مورد بررسی قرار گیرد.آنالیزهاي استاتیکی که در آن از وضعیت سیستم در هر لحظه تصویر برداشته واز دینامیکهاي سیستم قدرت مانند دینامیک بارها ژنراتورها سیستم تحریک و صرفنظر میشود میتوانند بر اساس معادلات استاتیکی که همان معادلات پخشبار سیستم میباشند بطور موثري براي تعیین حد پایداري ولتاژ مورد استفاده قرار بگیرند.اما در کنار ساده بودن و داشتن ٨٣٦

2 و) و) سرعت بالا در دستیابی به نتایج مورد نظر با این حال دقت - بالایی را ندارند[ 4-5 ]. به همین دلیل امروزه استفاده از آنالیزهاي دینامیکی در مطالعات سیستمهاي قدرت کاربرد روزافزونی پیدا کرده است. مهمترین ویژگی آنالیزهاي دینامیکی سیستم قدرت استفاده از شبیهسازي حوزه زمان است که سبب میشود تا مطالعات سیستم قدرت چیزي شبیه به رفتار واقعی سیستم گردد. بر این اساس در آنالیزهاي دینامیکی سیستم قدرت رفتار و نوع تجهیزات استفاده شده در سیستم مانند ژنراتورها سیستمهاي تحریک گاورنرها و... باید به درستی مدل گردد [5-6]. از راهکارهاي بررسی وضعیت دینامیکی پایداري ولتاژ استفاده از آنالیز مدال یا همان آنالیز مقدار ویژه است. از انجا که حد پایداري ولتاژ به معنی فاصله میان نقطه کار سیستم و مرز فروپاشی ولتاژ تعریف میگردد با توجه به آنالیز دینامیکی سیستم قدرت حدود دینامیکی متفاوتی براي پایداري ولتاژ تعریف میشود که این حدود با تحلیل رفتار مقادیر ویژه ژاکوبین کاهشیافته سیستم قدرت تعیین میگردند[ 7-8 ] اما در کنار استفاده از آنالیز دوشاخگی و آنالیز مدال (آنالیز مقادیر ویژه ژاکوبین سیستم) استفاده از شبیهسازي حوزه زمان بمنظور تعیین و بررسی صحیح و دقیق مرزهاي دینامیکی پایداري ولتاژ لازم و ضروري است. مدل بارهاي استاتیکی و دینامیکی نیز در مطالعات دینامیکی پایداري ولتاژ تا ثیر واضحی بر انواع نقاط دوشاخگی ورفتار مقادیر ویژه ناشی از ژاکوبین سیستم دارند[ 9 ]. در این مقاله از سیستم چهارده باس IEEE طراحی شده در آنالیز حد استاتیکی دینامیکی پایداري ولتاژ و مدل بارهاي 1-- آنالیز دینامیکی سیستم وحدپایداري ولتاژ در آنالیزهاي دینامیکی علاوه بر اطلاعات استاتیکی شبکه (که بمنظور مطالعات پخشبار مورد استفاده قرار میگیرند) اطلاعات دینامیکی عناصر موجود در شبکه نیز مورد نیاز میباشد. به عبارتی بهتر بر خلاف ارزیابی استاتیکی پایداري ولتاژ که بر مبناي ژاکوبین پخشبار سیستم قدرت انجام میشود ارزیابی دینامیکی پایداري ولتاژ بر مبناي معادلات جبري دینامیکی سیستم قدرت است که ژاکوبین پخشبار بخشی از این ژاکوبین میباشد.معادلات جبري دینامیکی یک سیستم قدرت را میتوان بر اساس رابطە (1 x () نمایش داد: f ( x, y,, p) 0 g( x, y,, p) (1) () که x متغیرهاي حالت و y متغیرهاي جبري سیستم قدرت را بیان میکنند. بعلاوه (λ Ρ) بترتیب بیانکننده پارامترهاي قابل کنترل مانند ولتاژ مرجع SVCها و نیز تپ و تنظیمات مربوط به AVRها و پارامترهاي غیر قابل کنترل مانند توانهاي اکتیو و راکتیو بارهاي سیستم میباشند در حقیقت رابطە [1]. (1) بیانکننده دینامیکهاي مربوط به ژنراتور سیستم تحریک بارهاي دینامیکی و دیگر ادوات کنترلی و رابطە () بیانگر تعادل پخش توان میباشد[ ] بمنظور استفاده از روابط (1 تحلیل دینامیکی پایداري ولتاژ لازم است تا معادلات دینامیکی بیان شده حول نقطه کار سیستم () براي (x 0,y 0 ) جبري و براي مقادیر مشخصی از پارامترهاي سیستم (λ Ρ) خطیسازي گردد. در نتیجه این خطیسازي ژاکوبین سیستم که به ژاکوبین کاهشنیافته (J) سیستم نیز موسوم است با توجه به رابطه (3) قابل بیان خواهد بود: x J 0 J 11 1 J J 1 x y J x y (3) ماتریسهاي و J 11 J 1 از طریق رابطه (1) قابل دستیابی بوده و در حقیقت شامل متغیرهاي حالت سیستم میباشد. همچنین J 1 محیط دیگسایلنت استفاده شده و علی رغم اکثر مقالات که بروي حد استاتیکی پایداري ولتاژ متمرکز شده انددر اینجا حد دینامیکی پایداري ولتاژ( DLM ) بر اساس مرز هاپف ( )را با در نظر گرفتن تاثیر پارامترهاي سیستم تحریک مدلهاي استاتیکی بار با افزایش تدریجی بار یک باس یا باسهاي مختلف (در اینجا باس 14) نشان میدهد[ ]. ٨٣٧

3 و 1 () رابطە از J و f f g, J1, J 1 J x y x g y بدست میآیند.بعبارتی بهتر. J 11, با حذف Δy از رابطه (3) ژاکوبین کاهشیافته سیستم قدرت بدست میآید: 1 x ( J J J J ) x Ax (4) در رابطه (4) ماتریس A ژاکوبین کاهشیافته سیستم است [9]. در تعیین و بررسی مرز علاوه بر کاربرد بررسی نوسانات سیستم قدرت مقادیر ویژه ژاکوبین کاهشیافته سیستم (A) نیز کاربرد فراوانی دارند. نقطه یک نوع ناپایداري نوسانی در سیستم قدرت است. در زمان وقوع در سیستم با تغییر آرام پارامترهاي سیستم مثلا بار سیستم یک زوج قطب مختلط (مقدار ویژه مختلط) از ماتریس ژاکوبین کاهشیافته سیستم (A) از سمت چپ محور موهومی صفحه اعداد مختلط به سمت راست منتقل میشود[ 3 ]..شکل 1 رفتار مکان مقدار ویژه بحرانی سیستم را به ازاي بارگذاريهاي مختلف تا نقطه (λ) میدهد.اگر مد مختلط را بفرم زیر در نظر بگیرید: j (5) نسبت میرایی چنین مدي با رابطه (6) تعریف میشود: (6) شکل 1: مکان مقدار ویژة بحرانی در نشان بر طبق رابطه (6) در جایی رخ میدهد که مقدار نسبت میرایی براي مد بحرانی صفر گردد میرایی مثبت (0= α σ ).نقطه = کار بانسبت پایدارو بانسبت میرایی منفی ناپایدارمیباشد.پس تمام نقاط کار سیستم قبل از وقوع از حیث دینامیکی پایدار و تمام نقاط پس از آن ناپایدار میباشند.همچنین بر اساس مرز حد دینامیکی پایداري ولتاژ (DLM) متناظر با فاصله میان سطح بار پایه سیستم ) 0 (λ تا سطح بارمنجر به وقوع در سیستم ) λ) تعریف میشود. - مدلهاي بارهاي استاتیکی بارهاي استاتیکی بارهایی هستند که بصورت توانهاي اکتیو و راکتیو وابسته به فرکانس و ولتاژند و معمولا بصورت معادلات جبري نمایش داده میشوند که شدهاند [5]. این معادلات در رابطه (7) P P Q Q V ) ( ) V 0 ( V0 0 V ) ( ) V 0 ( V0 0 (7) v بترتیب برابر 0 براي بارهاي توان ثابت جریان v Q 0, P 0 باشند. می مصرف شده در ولتاژ Vمیباشند. 0 ثابت وامپدانس ثابت توان هاي اکتیو و راکتیو مرجع درمطالعات پایداري ولتاژ معمولا وابستگی توانهاي اکتیو و راکتیو به فرکانس قابل صرفنظر کردن. است [7]. در این پروژه تا ثیر مدلهاي بار رب حد دینامیکی پایداري ولتاژ -3 بررسی خواهد شد. اطلاعات سیستم تست نرم افزار والگوریتم استفاده بمنظور تحلیل دینامیکی پایداري ولتاژ 1-3- اطلاعات سیستم تست و نرمافزار مورد استفاده سیستم تست انتخاب شده در مطالعه حد پایداري ولتاژ مورد 14 باس IEEE است که به عنوان یک سیستم تست استاندارد در مقالات مختلف مورد استفاده قرار گرفته است. شکل دیاگرام تکخطی سیستم مورد نظر را در محیط نرمافزار دیگسایلنت نشان میدهد. سیستم تست مذکور داراي 14 باس 5 ژنراتور (4 ژنراتور از نوع PV و یکی از نوع مرجع) 11 بار 17 خط انتقال 3 ترانسفورمر میباشد. در این سیستم مدل در نظر گرفته شده براي ژنراتورها مدل Genrou است که ژنراتوري از مرتبه 6 می باشد.سیستم تحریک مورد استفاده براي ژنراتورهاي این سیستم مدل IEEEX1 میباشد [1]. بمنظور تحلیل دینامیکی پایداري ولتاژ و بررسی مرز از این نرمافزار استفاده خواهد شد. ٨٣٨

4 --3 شکل : سیستم تست 14 باسه IEEE شبیهسازي شده در نرمافزار پایداري ولتاژ: دیگسایلنت[ 1 ]. الگوریتم مورد استفاده بمنظور تحلیل دینامیکی مطالعات مورد نظر براي دستیابی به مرز کوتاه مدت در بازه زمانی و به ازاي اغتشاشهاي کوچک صورت میگیردکه بتوان معادلات جبري دینامیکی سیستم قدرت را حول نقطه کار سیستم خطی نمود و در راستاي آن با انجام آنالیز مدال مرز دینامیکی پایداري ولتاژ یعنی را بررسی نمود. بنابراین از آنجا که اغتشاشهاي کوچک اعمالی به سیستم معمولا بصورت تغییرات تدریجی و آرام بار یک باس یا مجموعهاي از باسهاي سیستم صورت میگیرد در این پروژه نیز این نوع از اغتشاشها بمنظور شناسایی و بررسی مرز مورد استفاده قرار خواهد گرفت.در این الگوریتم در ابتدا تغییرات احتمالی بار یا بارهاي سیستم و نیز مدت زمان شبیهسازي سیستم (بازه زمانی مطالعه) تعیین میشود. به ازاي مقادیر ورودي تعریف شده با اجراي پخشبار و سپس شبیهسازي حوزه زمان آنالیز دینامیکی سیستم قدرت انجام میشود. لازم به ذکر است که تغییرات تعریف شده براي بارهاي سیستم که بصورت اغتشاشهاي کوچک میباشند در خلال انجام شبیهسازي حوزه زمان صورت میگیرد. در پایان شبیهسازي حوزه زمان به ازاي نقطه کار جدید بدست آمده براي سیستم آنالیز مدال صورت گرفته و به ازاي آن وضعیت قسمت حقیقی بحرانیترین مقدار ویژه سیستم را بررسی میکنیم: اگرمقدار این بخش صفر باشد در اینصورت به مرز دست یافتهایم. اگر مقدار این بخش منفی باشد بمعنی پایدار بودن سیستم است که در نتیجه آن سطح بار سیستم مجددا افزایش یافته و روال توضیح داده شده تکرار میگردد. اگر مقدار این بخش مثبت باشد بمعنی ناپایدار بودن سیستم است که در نتیجه آن سطح بار سیستم باید کاهش یابد تا به مرز دست یابیم. بدینمنظور میانگین آخرین سطح بار که در آن سیستم پایدار بوده و سطح بار کاري که سیستم به ازاي آن ناپایدار بوده است را محاسبه کرده و به ازاي نقطه کار جدید بدست آمده آنالیزها مجددا تکرار میشود. 4- مطالعات بار باس تغییر بار باس 14 با مدل بار توان ثابت در این آنالیز بار باس 14 را از مقدار پایه j5+14/9 مگا ولت آمپر تا مرز وقوع مد در سیستم تغییر داده و در خلال این تغییرات رفتار مقادیر ویژه سیستم مورد بررسی قرار خواهد گرفت. بدیهی است فاصله میان بار پایه سیستم تا مرز وقوع در سیستم به منزله حد دینامیکی پایداري ولتاژ (DLM) در نظر گرفته خواهد شد.. بر اساس نتایج جدول( 1 ) می توان دریافت که مد بحرانی مختلط سیستم داراي رفتاري غیر خطی است. به عبارتی بهتر در طول افزایش بار سیستم مد بحرانی(مدي که سبب وقوع در سیستم میشود) مختلط سیستم ثابت نبوده و به عنوان مثال از مد 6-5 در بار پایه به در بار منجر به نوسانات این مد تقریبا ثابت است. تغییر میکند اما فرکانس جدول (1): تا ثیر تغییرات بار باس 14 در حد دینامیکی پایداري ولتاژ و رفتار مقدار ویژه بحرانی سیستم ضریب میرایی مقدار ویژه بحرانی میزان بار MVA) ( مد بحرانی 6-5 ( 14/9+j5) بار پایه -0/178±j9/ / /05+j7/ 4-0/1185±j9/ / /508+j14/ 6-0/0608±j9/ / /36+j18/ -0/03081±j9/ 351 0/ /17599+j1/ -0/00311±j9/ / /115+j1/5175 () 64 ±j9/ /964+j1/ 8 0/00819±j9/ 349-0/ Station1/B1 Station/B G G1 L1- Load L1-5 Station3/B5 L-5 Station4/B3 L-3 G3 L-4 Load 3 Load 5 L3-4 L4-5 T5-6 Load 4 Station5/B4 Load 1 Station9/B1 Station8/B6 Load 6 L6-1 G6 L1-13 L6-13 L6-11 Station11/B11 Load 11 Station1/B10 T4-9 L7-8 L10-11 Station6/B7 T4-7 G8 Load 13 L9-14 L9-10 L13-14 Station10/B13 Load 14 Load 9 Load 10 L7-9 Station7/B8 Station14/B14 Station13/B ٨٣٩

5 -4 تغییر بار باس 14 تحریک ژنراتور باس مرجع در این قسمت تا ثیر تغییر ثابت با تغییر پارامترهاي سیستم زمانی و بهره (گین) سیستم تحریک ژنراتور باس مرجع بر حد دینامیکی سیستم در شرایط نرمال مورد بررسی قرار خواهد گرفت. () جدول در تا ثیر تغییر پارامترهاي مذکور در حد دینامیکی پایداري ولتاژ نشان داده شده است. جدول (): تا ثیر تغییر گین و ثابت زمانی سیستم تحریک باس مرجع بر حد Ka=00 Ta=0.018 دینامیکی پایداري ولتاژ Ka=00 Ta=0.0 Ka=180 Ta=0.0 بار MVA بارپایه () 14.9+j5 64/115 +j1/ j5 111/3835 +j37/ j5 96/54 +j3/3 با توجه به نتایج این جدول در ثابت زمانی ثابت ) a T) با کاهش بهره سیستم تحریک (K a ) حد دینامیکی پایداري ولتاژ بهبود پیدا میکند. علاوه بر این در بهره ثابت با افزایش ثابت زمانی حد دینامیکی پایداري ولتاژ کاهش پیدا باس P-V منحنی 3 شکل همچنین در میکند. 14 در ازاي تغییرات بار این باس نشان داده شده است. با توجه به این شکل ملاحظه میشود که با تغییر ثابت زمانی و یا بهره سیستم تحریک تغییري در منحنی P-V بوجود نمیآید و تنها حد دینامیکی پایداري ولتاژ تغییر میکند 3-4 اثر مدلهاي بار استاتیکی: در جدول (3) رفتار بحرانیترین مقدار ویژه سیستم به ازاي تغییرات بار باس 14 در حالیکه یکبار شامل بار توان ثابت یکبار جریان ثابت ویکبار امپدانس ثابت میباشد نشان داده شده است. با توجه به این نتایج ملاحظه میشود که بار امپدانس ثابت حد دینامیکی بیشتري را نسبت به بار جریان ثابت دارد. همچنین حد دینامیکی پایداري ولتاژ براي بار جریان ثابت بیشتر از بار توان ثابت بوده و داریم: (DLM) Z Load > (DLM) I Load > (DLM) P Load جدول (3): تا ثیر انواع مدلهاي استاتیکی بار باس 14 بر حد دینامیکی P-load 14/9+j5 پایداري ولتاژ MVA بار پایه () z-load 14/9+j5 75/1675 +j5/4 I-load 14/9+j5 69/465 +j3/975 64/115 +j1/ نتیجه گیري: در این مقاله حد دینامیکی پایداري ولتاژ بر اساس مرزهاپف و تا ثیر بارهاي استاتیکی سیستم مقادیر پارامترهاي سیستم تحریک و رفتار مقادیر ویژه بحرانی سیستم از بار پایه تا بارگذاري هاپف از ترکیب شبیهسازي حوزه زمان تي وري دوشاخگی و آنالیز مدال در محیط نرمافزار دیگسایلنت استفاده شدهاست. بر این اساس رفتار مقدار ویژه بحرانی سیستم در طول افزایش بار از بار پایه تا لحظه وقوع در سیستم کاملا غیرخطی است تا ثیر بارهاي استاتیکی سیستم در حد دینامیکی پایداري ولتاژ بگونهاي است که با تغییر نوع بار سیستم از توان ثابت به جریان ثابت حد دینامیکی پایداري ولتاژ افزایش مییابد. همچنین با تغییر نوع بار سیستم از جریان ثابت به امپدانس ثابت نیز حد دینامیکی پایداري ولتاژ افزایش مییابد. تنظیم پارامترهاي سیستم تحریک به گونهاي است که با افزایش بهره و یا ثابت زمانی سیستم تحریک ژنراتورها حد دینامیکی پایداري ولتاژ نیزکاهش مییابد. Voltage at Bus 14 (pu) K a =00, T a =0.0 K a =00, T a =0.018 K a =180, T a =0.0 شکل 3: منحنی P-V باس 14 به ازاي پارامترهاي مختلف سیستم تحریک ژنراتور باس مرجع ٨٤٠ Loading Factor ()

6 مراجع [1] P. Kundur, J. Paserba, V. Ajjarapu, G. Andersson, A. Bose, C. Canizares, N. Hatziargyriou, D. Hill, A. Stankovic, C. Taylor, T. Van Cutsem and V. Vittal, "Definition and classification of power system stability IEEE/CIGRE joint task force on stability terms and definitions", Power Systems, IEEE Trans. 004; 19(3): [] L. Huawei, F.Yu, W.Tao, "Impact of load characteristics and low-voltage load Shedding on dynamic voltage stability", IEEE CCECE/CCGEI, Ottawa; May 006; [3] N. Amjady, M. H. Velayati, "Evaluation of the maximum loadability point of power systems considering the effect of static load models", Int. J. of Energy Conversion and Management. 009; 50(1): [4] B. Leonardi, V. Ajjarapu, M. Djukanovic, P. Zhang, "Application of Multi-linear Regression Models and Machine Learning Techniques for Online Voltage Stability Margin Estimation", IREP Symposium- Bulk Power System Dynamics and Control VIII (IREP), Buzios, RJ, Brazil, August 1-6, 010. [5] V. Jayasankar, N. Kamaraj, N. Vanaja, "Estimation of voltage stability index for power system employing artificial neural network technique and TCSC placement", Neurocomputing, 010; 73(16-18): [6] K. W. Chan, A. R. Edwards, R. W. Dunn, A. R. Daniels, "On-line dynamic security contingency screening using artificial neural networks", IEEProc. Gener. Transm. Distrib. 147(6), 000; [7] P. Kundur, Power System Stability and Control, New York: McGraw- Hill, [8] Y. P. Zhang, W. Huang, Z. Q. Liu, J. Y. Yang, X. L. Cai and J. H. Zhang. "Research on the relationship of the singular point for load flow Jacobian matrix and the critical point of voltage collapse", In: Proc IEEE power eng. Soc general meeting. 005; 3: [9] G. M. Huang, L. Zhao, X. Song, "A New Bifurcation Analysis for Power System Dynamic Voltage Stability Studies", In: Proc IEEE power eng. soc winter meeting, 00; (): [10] T. Van Cutsem and C. Vournas, "Voltage Stability of Electric Power Systems", Boston, Kluwer Academic Publishers, [11] N. Mithulananthan, C. Canizares, Reeve J. (000), "Indices to detect Hopf bifurcations in power systems", In: Proc of NAPS. 000; 1(): ٨٤١